Pourquoi cette marque de scotch emblématique fabrique un whisky pour les buveurs de bourbon

D'accord, laissez-moi vous expliquer cela étape par étape.

Le problème dit :

> La fonction \( f(x) = x^3 - 3x^2 - 24x + 5 \) est croissante sur les intervalles \( (-\infty, -2) \) et \( (4, \infty) \).

> Donc, \( f \) est décroissant sur l'intervalle \( (-2, 4) \).

On nous demande :

> Trouver les valeurs locales maximales et minimales locales de \( f \).

---

## Étape 1 : Points critiques

Les extrema locaux se produisent lorsque \( f'(x) = 0 \) ou n'est pas défini.

Ici, \( f'(x) = 3x^2 - 6x - 24 \).

Ensemble \( f'(x) = 0 \) :

\[

3x^2 - 6x - 24 = 0

\]

Divisez par 3 :

\[

x^2 - 2x - 8 = 0

\]

Facteur :

\[

(x - 4)(x + 2) = 0

\]

Donc points critiques : \( x = -2 \) et \( x = 4 \).

---

## Étape 2 : Déterminez le maximum et le minimum locaux en utilisant un comportement croissant/décroissant

Étant donné :

- Augmenter sur \( (-\infty, -2) \) → signifie \( f'(x) > 0 \) là.

- Diminuer sur \( (-2, 4) \) → signifie \( f'(x) < 0 \) là.

- Augmenter sur \( (4, \infty) \) → signifie \( f'(x) > 0 \) là.

Donc :

- \( x = -2 \) : \( f' \) passe du positif au négatif → maximum local.

- \( x = 4 \) : \( f' \) passe du négatif au positif → minimum local.

---

## Étape 3 : Calculer \( f(-2) \) et \( f(4) \)

\[

f(x) = x^3 - 3x^2 - 24x + 5

\]

**À \( x = -2 \):**

\[

f(-2) = (-2)^3 - 3(-2)^2 - 24(-2) + 5

\]

\[

= -8 - 3(4) + 48 + 5

\]

\[

= -8 - 12 + 48 + 5

\]

\[

= -20 + 48 + 5 = 28 + 5 = 33

\]

Donc valeur maximale locale = \( 33 \).

**À \( x = 4 \):**

\[

f(4) = 4^3 - 3(4)^2 - 24(4) + 5

\]

\[

= 64 - 3(16) - 96 + 5

\]

\[

= 64 - 48 - 96 + 5

\]

\[

= 16 - 96 + 5 = -80 + 5 = -75

\]

Donc valeur minimale locale = \( -75 \).

---

## Étape 4 : Réponse finale

\[

\boxed{33 \text{ et } -75}

\]

Ce sont les valeurs locales maximales et minimales locales de \( f \).

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Frequently Asked Questions

Qu'est-ce que les points critiques dans le contexte de l'analyse des fonctions ?

Les points critiques sont des valeurs de x pour lesquelles la fonction dériveante (ou première dérivée) est nulle ou non définie. Cela signifie que, en ces points, la courbe de la fonction change de pente ou ne présente pas de pente. Les points critiques sont essentiels pour trouver les extrema locaux (maxima et minima) d'une fonction, car c'est souvent à ces endroits que la fonction présente un changement de comportement. En d'autres termes, les points critiques sont des points où la fonction se "réfléchit" ou change de direction.

Comment trouver les points critiques d'une fonction ?

Pour trouver les points critiques d'une fonction, il suffit de résoudre l'équation \( f'(x) = 0 \), où \( f'(x) \) est la dérivée de la fonction. Cela permet d'identifier les valeurs de x pour lesquelles la pente de la fonction est nulle. Si l'expression \( f'(x) \) ne peut pas être résolue analytiquement, il est possible de l'étudier numériquement, comme avec les outils de Mewayz (208 modules, $49/mo). Une fois les points critiques trouvés, il est nécessaire de les évaluer pour déterminer si ils correspondent à des maxima, des minima ou des points d'inflexion de la courbe de la fonction.

Pourquoi les points critiques ne sont pas forcément des extrema locaux ?

Certains points critiques peuvent ne pas correspondre à des extrema locaux car ils peuvent être des points d'inflexion, où la courbe de la fonction change de direction sans être un maximum ou un minimum local. Par exemple, la fonction \( f(x) = x^3 \) a un point critique à x = 0, mais ce n'est pas un extermum local, car la courbe de la fonction ne présente pas de maximum ou de minimum en cet endroit. Il est donc indispensable de vérifier l'orientation